球谐函数(Spherical Harmonics)-近代数学中最著名的函数之一

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前言

球谐函数是近代数学中最著名的函数之一，在光学、天体运动、量子力学中的应用十分广泛。而在地球重力场模型构建过程中，球谐函数及其导数与定积分的计算是必不可少的环节，其精度和稳定性直接影响着重力场模型的构建。

球谐函数的数学理论

球坐标系下的Laplace方程

球谐函数的数学概念和性质在每一本数学物理方法书中都有非常详细的推到和论述。球谐函数是傅里叶级数的高维类比，由一组表示球体表面的基函数构成。同时，球谐函数是Laplace算子角动量在三个纬度上的特征函数。三维直角坐标系下，Laplace方程如下：

\Delta^2u=\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial z^2}

将其转化为球坐标系，将下面的坐标公式代入上式

\begin{cases} x=rsin(\theta)cos(\varphi) \\ y=rsin(\theta)sin(\varphi) \\ z=rcos(\theta) \end{cases}

于是得到球坐标系下的Laplace方程：

\Delta^2u=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial u}{\partial r})+\frac{1}{r^2sin(\theta)}\frac{\partial}{\partial\theta}(sin(\theta)\frac{\partial u}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2sin^2(\theta)}\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2} = 0

球谐函数

方程的理论推导

对于任意一个球坐标系下的函数u(r,\theta,\varphi)，我们将其分离变量，可以得到u(r,\theta, \varphi) = R(r)Y(\theta,\varphi)

R(r)表示距离部分
Y(\theta,\varphi)，这一部分就是球谐函数

我们将分离后的函数带入上一节的方程，化简后可以得到：

\frac{1}{R}\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})=-\frac{1}{sin(\theta)Y}\frac{\partial}{\partial\theta}(sin(\theta)\frac{\partial Y}{\partial \theta})-\frac{1}{Y}\frac{1}{sin^2(\theta)}\frac{\partial^2Y}{\partial\varphi^2}

方程的左边是关于R的函数，方程的右边是关于\theta，\varphi的函数，显然两侧的等式要成立，左侧和右侧的函数需要同时等于一个常数l(l+1)，可以得到两个新方程：

\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})-l(l+1)R=0\\ \frac{1}{sin(\theta)}\frac{\partial}{\partial\theta}(sin(\theta)\frac{\partial Y}{\partial \theta})+\frac{1}{sin^2(\theta)}\frac{\partial^2Y}{\partial\varphi^2}+l(l+1)Y=0

其中第二个方程就称为球函数方程，令Y(\theta,\varphi)=\Theta(\theta)\Phi(\varphi),进一步分离变量，得到了一个极为特殊的方程：l阶连带勒让德方程：

(1-x^2)\frac{d^2\Theta}{dx^2}-2x\frac{\Theta}{dx}+[l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}]\Theta=0

 勒让德方程是物理（引力场、电磁辐射、量子力学）和工程领域里面常常遇到的一类常微分方程。这个方程的解，也就是\Theta的表达式为连带勒让德函数，记为P_l^m(x)。

P_l^m(x)=\Theta=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}P_l^{[m]}(x)

其中关于连带勒让德多项式，有以下几点需要注意： -P_l^{[m]}(x)是对P_l^m(x)求导数。 -P_l(x)是连带勒让德函数，其定义域是[-1,1]。 -l,m分别是连带勒让德函数的阶(degree)和次(order), m\in(0,l)。广义的勒让德多项式是复数，而连带勒让德则是指实数部分。

以下连带勒让德函数的前2阶表达式：

l	m	P_l^m(x)
0	0	1
1	-1	\frac{1}{2}P_1^1(x)
1	0	x
0	0	-(1-x^2)^{\frac{1}{2}}
2	-2	\frac{1}{24}P_2^2(x)
2	-1	\frac{1}{6}P_2^1(x)
2	0	\frac{1}{2}(3x^2-1)
2	1	-3x(1-x^2)^{\frac{1}{2}}
2	2	x(1-x^2)

将其带入Y(\theta, \varphi) = \Theta(\theta)\Phi(\varphi)，即可得到球坐标系下的解Y(\theta, \varphi)，这个解就是球谐函数:

Y_l^m(\theta,\varphi)=P_l^m(cos(\theta))\{sin(m\varphi),cos(m\varphi)\}=P_l^m(cos(\theta)e^{im\varphi})

利用上面连带勒让德函数的结论，我们可以推导出前二阶的球谐表达式：

l	m	Y_l^m(x)
0	0	\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{\pi}}
1	-1	\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi}}sin(\theta)e^{i\varphi}
1	0	\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}cos(\theta)
1	1	-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi}}sin(\theta)e^{i\varphi}
2	-2	\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}sin^2(\theta)e^{-2i\varphi}
2	-1	\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}sin(\theta)cos(\theta)e^{-i\varphi}
2	0	\frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi}}(3cos^2(\theta)-1)
2	1	-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}sin(\theta)cos(\theta)e^{i\varphi}
2	2	\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}sin^2(\theta)e^{2i\varphi}

 Note:我们一般都不会直接求解P_l^m(x)，计算复杂度和重复度都很高，在计算高阶球谐函数的时候，更不能Hardcoding,所以一般情况下，P_l^m(x)都是通过递推迭代的方法得到。

球谐函数的基本性质

球谐函数在球面具有正交性，完备性，以及旋转不变性

正交性：说明基函数两两相互正交。
完备性：说明基函数的线性叠加可以逼近任意一个球体（函数）。
旋转不变性：球谐函数只与\theta, \varphi有关，与半径无关。故球谐函数是旋转对称的。

球谐（基）函数是在复数域的基础上定义的，但是在应用过程中，一般只关心实数域内定义的球函数。所以这篇文章只关心实球面调和（Real Spherical Harmonics）。

球谐函数的线性叠加

理论上，球谐基函数构成了一个函数空间集合(Y_0,Y_1,Y_2,...)，因此，只要给定了一个三维的球面函数f(\theta,\varphi)，我们就可以通过无穷多个球谐函数的线性组合，近似的表达出来：

f(\theta,\varphi)=\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{l=m}^{\infty}P_l^m(cos(\theta)[A_l^msin(m\theta)+B_l^mcos(m\varphi)])

通过上述的方程可知，要将给定球面函数（形状）进行球谐展开，问题的关键在于如何计算球谐函数中的系数A_l^m和B_l^m。若函数f(\theta, \varphi)的表达式已知，则可以通过积分计算出精确解，若没有解析式或不可积，则需要进行数值求解。比如Monte-Carlo积分等。

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