球面均匀采样

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球面均匀采样：为什么是 cos(\theta)=1-2v

来源：UE4 MonteCarlo.ush 中的 UniformSphereSample，用于 PRT/Surfel 探针采样时在球面上均匀地撒方向。

前言

在图形学里，"在球面上均匀采样一个方向"是最基础的操作之一：环境光积分、球谐函数拟合、Surfel 分布、蒙特卡洛估计……都离不开它。

UE4 的 MonteCarlo.ush 给出的标准实现非常短：

float3 UniformSphereSample(float u, float v)
{
    const float C_PI = 3.14159265359f;
    float phi = 2.0 * C_PI * u;
    float cosine_theta = 1.0 - 2.0 * v;
    float sine_theta = sqrt(1.0 - cosine_theta * cosine_theta);

    float x = sine_theta * cos(phi);
    float y = sine_theta * sin(phi);
    float z = cosine_theta;

    return float3(x, y, z);
}

最容易让人困惑的是这一行：

float cosine_theta = 1.0 - 2.0 * v;

为什么不是 \theta=\pi v，而是先算出一个"余弦"？本文从数学上把这件事讲清楚。

先明确目标：什么叫"均匀"

球面上均匀，指的是：落在任一小片曲面上的概率，等于该片面积占球总面积（4\pi）的比例：

dP=\frac{dA}{4\pi}

关键词是面积，不是角度。这一点是全部推导的源头——很多人直觉上想让极角 \theta 均匀分布，但那不是面积均匀，后面会看到它会导致采样点在两极堆积。

第一步：球面面积微元

对球面做参数化，\theta 为极角，从北极 0 到南极 \pi；\varphi 为方位角，从 0 到 2\pi：

\begin{cases} x=sin(\theta)cos(\varphi) \\ y=sin(\theta)sin(\varphi) \\ z=cos(\theta) \end{cases}

在 (\theta, \varphi) 处取一小块：\theta 方向宽 d\theta，\varphi 方向宽 d\varphi。这一小块到竖直转轴的距离（即所在纬度环的半径）是 r=sin(\theta)，于是这块的"横向弧长"是 sin(\theta)d\varphi，"纵向弧长"是 d\theta：

dA=(sin(\theta)d\varphi)\cdot d\theta=sin(\theta)d\theta d\varphi

注意 sin(\theta) 这个因子：赤道处（\theta=\frac{\pi}{2}）环带最宽，两极附近（\theta\rightarrow 0 或 \pi）环带收缩成一个点。同样大小的 d\theta，在不同纬度对应的真实面积完全不同。

第二步：\theta 的概率密度必须是 sin(\theta)/2

我们要的是 \theta 的边缘分布。把面积微元代进均匀定义，再对 \varphi 积分（\varphi 从 0 到 2\pi）：

p(\theta)d\theta=\int_0^{2\pi}\frac{sin(\theta)d\theta d\varphi}{4\pi}=\frac{2\pi\cdot sin(\theta)}{4\pi}d\theta

所以：

p(\theta)=\frac{sin(\theta)}{2}

为什么必须是它？ 因为只有当 p(\theta)\propto sin(\theta) 时，概率密度里的 sin(\theta) 才会和面积微元里的 sin(\theta) 相消，使单位面积的概率密度处处等于常数 \frac{1}{4\pi}——这才是球面均匀。

验证归一化（概率为1）：

\int_0^{\pi}\frac{sin(\theta)}{2}d\theta=\left[-\frac{cos(\theta)}{2}\right]_0^{\pi}=\frac{1-(-1)}{2}=1

反面教材：如果天真地取 \theta=\pi v（即 p(\theta)=\frac{1}{\pi}，\theta 均匀），那么单位面积的概率密度为：

\frac{p}{2\pi\,sin(\theta)}\propto\frac{1}{sin(\theta)}\;\;\rightarrow\;\;\theta\rightarrow 0\ 或\ \pi\ 时发散

两极处面积趋近于零、概率却不衰减，采样点全部涌向两极。采样出来的方向分布会明显"扎堆"，任何依赖均匀性的积分估计都会有系统性偏差。

第三步：逆变换采样（Inverse Transform Sampling）

现在已知 \theta 应服从密度 p(\theta)=\frac{sin(\theta)}{2}，如何用 [0,1] 均匀随机数 v 生成它？标准答案是逆变换采样。

求累积分布函数（CDF）：

F(\theta)=\int_0^{\theta}\frac{sin(t)}{2}dt=\frac{1-cos(\theta)}{2}

令 F(\theta)=v，反解出 \theta：

\frac{1-cos(\theta)}{2}=v\;\;\Rightarrow\;\;cos(\theta)=1-2v

这正是那一行代码。而且代码里不需要真的算 \theta=arccos(1-2v)——因为后面只会用到：

sin(\theta)=\sqrt{1-cos^2(\theta)},\;\;\;z=cos(\theta)

保留 cos(\theta) 直接参与运算即可，省掉一次反三角函数。

而方位角 \varphi 没有这个问题：绕轴旋转的环带面积与 \varphi 无关，\varphi 天然均匀，直接取：

\varphi=2\pi u

一个漂亮的直觉：z 均匀 \Leftrightarrow 面积均匀

cos(\theta) 不是别的，正是方向向量的 z 坐标。所以 cos(\theta)=1-2v 等价于：

让 z 在 [-1, 1] 上均匀取值。

为什么这样就均匀了？想象用一组水平平面以等间距 dz 把球切成薄片——高度 z 处那片的球面面积是：

A(z)=2\pi\,dz

环带半径 sin(\theta) 乘上周长 2\pi，恰好与 z 无关。球面在 z 轴上的"投影"是均匀的：每一层等厚的球壳切片面积完全相同。所以 z 均匀分布 \Leftrightarrow 面积均匀分布。这也是阿基米德球冠定理的现代版：球冠面积只取决于它的高，不取决于它的张角。

回到完整代码

把上面三步合起来看 CSMain 的调用链：

// [0,1] 均匀随机数（两路独立噪声）
float u = rand(xy * 1.0);
float v = rand(xy * 2.0);

// u → 方位角 φ（天然均匀）
// v → 极角余弦 cosθ（逆变换采样，补偿 sinθ 面积权重）
float3 dir = UniformSphereSample(u, v);

u 和 v 地位并不对称：u 直接映射角度，v 必须先经过 \frac{1-cos(\theta)}{2} 这个 CDF 的"整形"，才能抵消球面面积随纬度的变化。

总结

量	分布	原因
\varphi（方位角）	均匀于[0, 2\pi]	环带面积与\varphi 无关
\theta（极角）	密度\frac{sin(\theta)}{2}	环带面积\propto sin(\theta)
cos(\theta)（即 z）	均匀于[-1, 1]	等厚切片面积恒为2\pi dz

一句话记住：

球面均匀采样 = 方位角均匀 + 极角余弦均匀。 cos(\theta)=1-2v 就是逆变换采样对 p(\theta)=\frac{sin(\theta)}{2} 求逆后的解析解。

参考

Unreal Engine 4, MonteCarlo.ush — UniformSphereSample
PBRT (Physically Based Rendering), 第 13 章 — Monte Carlo Integration / Transforming between distributions
Archimedes' Hat-Box Theorem — 球冠面积与 z 的线性关系

全局光照, 几何

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球面均匀采样：为什么是 ​cos(\theta)=1-2v

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