计算两个面的交线

发表于 12天前 更新于 12天前

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空间中两个平面要么相交要么平行，相交平面得到的是一条直线。

根据之前的博文有讲述，空间中不共线三点确定一个平面。那么已知两个平面，且两平面相交，应该如何去计算两平面之间的交线呢？

思路分析：如果两平面相交，获得一条直线，那么该直线就同时属于两个平面。那么该直线会同时垂直于两个平面的法线。那么两个平面的法向量的外积，就可以计算出交线的方向。这时候还需要计算交线上一点才能表示该直线。要计算交线上一点，就需要构造另一条直线，使得该直线在两个已知平面中的一个平面内，并且与另一个平面有交点，该交点就是交线上的点。而目前能够得到的已知量就是表示平面的六个点（这六个点可能会有相等的点，但是如果能表示平面，不会六个点都相等），交线方向向量，两个平面的法向量。可以取六个点中的一个点，作平行于交线的直线，结合该点所在平面的法向量得到第二条直线，根据向量外积，计算得到一个垂直于交线的向量，结合该点和该向量可以得到一条垂直于交线的直线，并且该直线交于另一个平面，求出该直线与平面的交点，该交点就是交线上的点，交线上的点和交线方向向量就可以确定交线了。
推导过程:

假设两平面P_1,P_2相交于直线l_0\\ 平面法向量分别为\vec{n_1},\vec{n_2}\\ 则有l_0\bot\vec{n_1},l_0\bot\vec{n_2}\\ 由P_1中已知一点P出发向l_0作垂线得直线l_1\\ 则l_1\bot\vec{l_0} , l_1\bot\vec{n_1}\\ 则l_1的方向向量\vec{Dir_{l_1}} = \vec{Dir_{l_0}} \times \vec{n_1}\\ 则直线l_1 = P + t\vec{Dir_{l_1}}\\ 计算直线l_1与平面P_2的交点R\\ 直线l_0 = R + t\vec{Dir_{l_0}}\\

几何

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