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点到直线的最短距离

根据直线的表示方式p = at + b,可以设一个点P(p_x,p_y),任意一点A(x_0,y_0)到点P的距离可以根据两点间距离公式求出。

D^2 = (p_x-x_0)^2+(p_y-y_0)^2 \\ = (a_xt+b_x-x_0)^2+(a_yt+b_y-y_0)^2 \\ = (a_x^2+a_y^2)t^2 + 2{ax(b_x-x_0)+a_y(b_y-x_0)}t+(x_0^2+y_0^2) \\

然后根据对表达式求二阶导数,可以证明该函数存在最小值。

令一阶导数等于零可以求得取最小值时,t的取值。将t带入可以计算出最短距离的平方。最后算得

t = \frac{a_x(x_0-b_x)+a_y(y_0-b_y)}{a_x^2+a_y^2}

点到线段的最短距离

根据点到直线的距离的计算方式,把线段看成是直线,最后计算出t,然后根据t的值将t缩小到[0,1]之间。

if t < 0
    than t = 0
if t > 1
    than t = 1

这样就可以计算点到线段的最短距离了。

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